开发笔记

  • 首页
  • 工具箱
三味线的博客
  1. 首页
  2. 算法
  3. 正文

中国剩余定理(POJ 1006)

2019-01-17 796点热度 0人点赞 0条评论

解题思路

中国剩余定理,本题难点不在编程,而是分析题目并转化为数学公式

要引入本题解法,先来看一个故事 “韩信点兵”:

传说西汉大将韩信,由于比较年轻,开始他的部下对他不很佩服。有一次阅兵时,韩信要求士兵分三路纵队,结果末尾多2人,改成五路纵队,结果末尾多3人,再改成七路纵队,结果又余下2人,后来下级军官向他报告共有士兵2395人,韩信立即笑笑说不对(因2395除以3余数是1,不是2),由于已经知道士兵总人数在2300~2400之间,所以韩信根据23,128,233,——,每相邻两数的间隔是105(3、5、7的最小公倍数),便立即说出实际人数应是2333人(因2333=128+20χ105+105,它除以3余2,除以5余3,除以7余2)。这样使下级军官十分敬佩,这就是韩信点兵的故事。
韩信点兵问题简化:已知 n%3=2, n%5=3, n%7=2, 求n。

再看我们这道题,读入p,e,i,d 4个整数

已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i ,求n 。

两道题是一样的。但是韩信当时是如何计算出结果的?

韩信用的就是“中国剩余定理”,《孙子算经》中早有计算方法,大家可以查阅相关资料。

“韩信点兵”问题计算如下:

因为n%3=2, n%5=3, n%7=2 且 3,5,7互质 (互质可以直接得到这三个数的最小公倍数)

令x= n%3=2 , y= n%5=3 ,z= n%7=2
使5×7×a被3除余1,有35×2=70,即a=2;
使3×7×b被5除余1,用21×1=21,即b=1;
使3×5×c被7除余1,用15×1=15,即c=1。
那么n =(70×x+21×y+15×z)%lcm(3,5,7) = 23 这是n的最小解

而韩信已知士兵人数在2300~2400之间,所以只需要n+i×lcm(3,5,7)就得到了2333,此时i=22
同样,这道题的解法就是:

已知(n+d)%23=p; (n+d)%28=e; (n+d)%33=i
使33×28×a被23除余1,用33×28×6=5544;
使23×33×b被28除余1,用23×33×19=14421;
使23×28×c被33除余1,用23×28×2=1288。
因此有(5544×p+14421×e+1288×i)% lcm(23,28,33) =n+d

又23、28、33互质,即lcm(23,28,33)= 21252;
所以有n=(5544×p+14421×e+1288×i-d)%21252

本题所求的是最小整数解,避免n为负,因此最后结果为n= [n+21252]% 21252

那么最终求解n的表达式就是:

n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252

当问题被转化为一条数学式子时,你会发现它无比简单。。。。直接输出结果了。

#include<iostream>
using namespace std;

int main(void)
{
    int p,e,i,d;
    int time=1;
    while(cin>>p>>e>>i>>d)
    {
        if(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1)
            break;

        int lcm=21252;  // lcm(23,28,33)
        int n=(5544*p+14421*e+1288*i-d+21252)%21252;
        if(n==0)
            n=21252;
        cout<<"Case "<<time++<<": the next triple peak occurs in "<<n<<" days."<<endl;
    }
    return 0;
}

个人理解

看了很久也没明白70,21,15的来由(《孙子算经》中貌似也没说明),暂时当作公式来用吧。

x,y,z为三个互质除数,最小公倍数为LCM(即x*y*z),p,k,i为相应余数,总数为n;

即:n%x=p;n%y=k;n%z=i;

公式:(y*z*a)%x=1    (x*z*b)%y=1    (x*y*c)%z=1

在代码中累加a/b/c计算,(y*z*a-1)%x=0,求得a;b,c类似.

令 R=(y*z*a)    S=(x*z*b)    T=(x*y*c)

则 n=(p*R+k*S+i*T)%LCM  (得到最小解)

标签: C++
最后更新:2020-06-06

三味线

不吃咸鱼的喵

点赞
< 上一篇
下一篇 >

文章评论

razz evil exclaim smile redface biggrin eek confused idea lol mad twisted rolleyes wink cool arrow neutral cry mrgreen drooling persevering
取消回复

Captcha Code

COPYRIGHT © 2022 voidcat.cn. ALL RIGHTS RESERVED.

Theme Kratos Made By Seaton Jiang

蜀ICP备18010095号-1